Пространство

Пространство (мат) [space] — мно­жество, между элементами которого определены некоторые соотношения, аналогичные обыч­ным пространственным соотношениям. Множество всех n-мерных точек составляет n-мерное прoстранство Rn. Например, точки M (2; -8; 24) и N ( 4;6;-0,5) — точки 3-мер­ного пространства R3, то есть M ∈ R3, N ∈ R3.

В экономико-математичес­ких исследованиях в большинстве случаев используются мет­рические пространства. Одно из них — Евклидово П. (обоз­начается En или En). Метрическое пространство — такое, в ко­тором между элементами мно­­жества определены расстояния — например, величина d (x, y) называется расстоянием между x и y. Евклидово n-мерное П., соответственно, яв­ляется метрическим прост­ранством с евклидовым расстоянием между точками x = (x1, x2, …, xn) и y = (y1,  y2, …, yn):

d(x,y) = (xjyj)2

Выделим еще два понятия метрического пространства: ок­рестность точки и граничная точка .

e-окрестностью точ­ки x называется множество точек, расстояния от которых до x меньше некоторого заданного положительного числа e. В пространстве Е2 с евклидовой метрикой e-окрестность представляет собой внутреннюю часть круга радиуса  e  с центром в точке x.

Точка x некоторого подмножества A метрического пространства является граничной точкой этого подмножества, если любая окрестность x содержит хотя бы одну точку из A и одну точку, не принадлежащую A. Множество всех граничных точек A называется границей А.

См. Многомерное (n-мерное) пространство, Базис векторно­го пространства, Векторное (линейное) пространство, Гипер­пространство, Гиперплоскость, Полупространство, Размерность векторного пространства.