Отображение [mapping, transformation] — с самой общей точки зрения это правило, по которому элементам одного множества ставятся в соответствие элементы другого множества. Поэтому иногда говорят, что отображение — это кортеж, состоящий из трех элементов: множества определения, множества значений и закона преобразования первого множества во второе.
О. какого-либо множества в множество действительных или комплексных чисел обычно называют функцией, хотя иногда термин «функция» употребляют вообще как синоним слова «О».
Если О. f ставит в соответствие элементу x ∈ A элемент f (x) ∈ B, то f (x) называют образом x, а x — прообразом f (x). Каждому О. соответствует обратное О. f-1 (x), ставящее в соответствие каждому образу его прообраз.
Если любому прообразу соответствует единственный образ, то О. называется однозначным; если, кроме того, любому образу соответствует единственный прообраз, то О. называется взаимно однозначным. Например, функция y = x2 есть однозначное О. числовой оси на множество положительных чисел, но так как каждому положительному числу y соответствуют два числа ±√y то эта функция не взаимно однозначная. Пример взаимно однозначной функции: y = x.
В экономике встречаются О., ставящие в соответствие единственному элементу много других. Например, простое бюджетное ограничение (см. Бюджетная линия) записывается так:
x1p1 + x2p2 = z.
Единственному значению дохода z соответствует в этом случае бесконечное число возможных значений затрат x1, x2. Такие О. называют соответствиями, многозначными функциями или точечно-множественными О.
В экономико-математических исследованиях чаще всего используются О. одного многомерного пространства V в другое, U.
Такие О. называются вектор-функциями, так как элементы каждого из этих пространств — векторы.
Над векторами можно производить определенные действия: векторы можно складывать: a + b и умножать на скаляр: αa. Поэтому очень большую роль играют О., сохраняющие эти операции:
L(a + b) = L(a) + L(b),
L(aa) = αL(a).
Такие О. называются линейными. Их называют также линейными операторами.
Множество элементов из V, образом которых при линейном О. оказывается нуль пространства U, называется ядром линейного отображения L и обозначается Ker L.