Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов [least — square technique] — математический (матема­ти­ко-статистический) прием, слу­жащий для выравнивания динамических рядов, выявления формы корреляционной связи между случайными величинами и др. Состоит в том, что функция, описывающая данное явление, аппроксимируется более простой функцией (или линейной комбинацией таких функций). Причем последняя подбирается с таким расчетом, чтобы среднеквадратичное отклонение (см. Дисперсия) фактических уровней функции в наблюдаемых точках от выровненных было наименьшим.

Например, по имеющимся данным (xi,yi) (i = 1, 2, …, n) строится такая кривая  y = a + bx, на которой достигается минимум суммы квадратов отклонений

то есть минимизируется функ­­ция, зависящая от двух параметров: a — (отрезок на оси ординат) и b (наклон прямой).

Уравнения, дающие необходимые условия минимизации функции S(a,b), называются нормальными уравнениями.

В качестве аппроксимирующих функций применяются не только линейная (вы­рав­нивание по прямой линии), но и квадратическая, параболическая, экспоненциальная и др. Пример выравнивания динамического ряда по прямой см. на рис. M.2, где сумма квадратов расстояний (y1y1)2 + (y2 y2 )2…. — наименьшая, и получившаяся прямая наилучшим образом отражает тенденцию динамического ряда наблюдений за некоторым показателем во времени.

 

Рис. М.2  Метод наименьших квадратов